Bonsoir,
Concernant les bains thermaux, je peux vous suggérer les bains Gellért (http://www.gellertbath.hu/) et les bains Széchenyi (http://www.szechenyibath.hu/) qui sont très sympas et dont l’architecture et les bâtiments sont très beaux ! Néanmoins, malgré qu’ils soient très biens (surtout Széchenyi, car Gellért est un peu plus vétuste), grands, avec de nombreux bassins et services, les deux bainsthermaux cités ci-dessus, commencent à perdre de leur authenticité car ils sont devenus très touristiques.
Si vous préférez le calme, l’authenticité et la tradition, je vous suggère donc de vous rendre à Kiraly Baths (plus petits que les autres bains thermaux. Souvent conseillés par les guides locaux. Ne pas se fier à votre première impression, les bains ont l’air peu accueillants, sont quelque peu vétustes, pas aussi majestueux que Gellért et Széchenyi, mais ils sont restés authentiques). Ce sont d’anciens bains turcs hors du temps, très authentiques et typiques et qui possèdent une atmosphère sereine, loin de l’effervescence touristique des autres bainsthermaux. Il y a plusieurs bassins à différentes températures (1 grand central et 4 plus petits), deux saunas et un hammam. Les vestiaires sont mixtes mais vous pourrez vous changer dans une cabine individuelle où vous pourrez laisser vos affaires. Infos ici : (http://en.kiralyfurdo.hu/prices).
Encore mieux que les bains Kiraly, encore plus dépaysants et typiques, et un peu plus propres aussi : les bains Rudas. Il y a très peu de touristes, les prix sont plus abordables que dans les bains Gellért et Széchenyi. Il y a plusieurs bains de températures différentes (extérieur et intérieur), un hammam et des saunas. Ce lieu date de l’époque ottoman, avec une magnifique coupole. Les bains sont mixtes uniquement le week-end et certains soirs (se renseigner avant).
Pensez à amener des tongs, un gel douche et une ou deux grande(s) serviette(s). Le bonnet de bain est obligatoire dans les piscines de natation.
Concernant les soins, vous avez des massages, services et soins medicaux dans certains bains.
Par exemple, concernant les bains Széchenyi il y a des soins medicaux, mais c’est surtout sur prescriptions médicales. Infos ici
Concernant les bains Gellert, des activités de bien être mais aussi de santé, sur prescriptions médicales. Infos ici
Concernant les bains Kiraly, il y a un peu moins de services proposés. Infos ici
Concernant Rudas, il y a aussi différents soins médicaux. Infos ici
Si vous avez d’autres questions concernant Budapest, n’hésitez pas à me contacter : visiterbudapest@gmail.com
Bonne soirée ! 
Adeline.